Composer deux polynomes, c'est substituer l'indéterminée d'un polynome par un autre polynome et on obtient ainsi un nouveau polynome.
Etant donnée que le D.L. Est motivé par le problème d'approcher une fonction générale par un polynome, on s'intérresse ici à la composition des D.L.

Composition des Développements limités

Soient \(f;]\alpha,\beta[\to ]\gamma,\delta[\) et \(g:]\gamma,\delta[\to\Bbb R\) des fonctions ayant un D.L. D'ordre \(n\) respectivement en \(a\in]\alpha,\beta[\) et \(b\in ]\gamma,\delta[\) avec \(b={{f(a)}}\).
Le D.L. De la fonction composée:
$$P_n(g\circ f)={{P_n(g,b; P_n(f,a;x))\mod(x-a)^{n+1}\Bbb R[x]}}$$
\(\longrightarrow\) Démonstration:
Pasted image 20220322090303.png

Intégration des Développements limités

Si \(f\) est une fonction continue sur \(]\alpha,\beta[\) qui admet un D.L. D'ordre \(n\) en \(a\in]\alpha, \beta[\), alors toute primitive \(F\) de \(f\) sur \(]\alpha, \beta[\) admet un D.L. D'ordre \(n+1\) en \(a\):
$$P_{n+1}(F,a;x)= {{F(a)+\int_a^xP_n(f,a;t)dt}}$$
\(\longrightarrow\) Démonstration:
Pasted image 20220322091026.png